Vektor

Besaran Menurut Arah dan Nilainya
Besaran Skalar
Besaran Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai. Contoh besaran scalar adalah massa, panjang, waktu, energy, usaha, suhu, kelajuan, jarak, dan lain-lain.

Besaran Vektor
Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Dalam ilmu Fisika, banyak besaran yang termasuk vektor, di antaranya perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dan momentum.

Vektor dalam Cartesius

Untuk menggambarkan sebuah vektor di dalam diagram Cartesian maka dapat diskalakan sesuai dengan besaran magnitude yang dimiliki oleh vektor tersebut. Garis harus ditarik dari pangkal sampai garis tersebut mewakili besaran yang dimaksudkan dan pada bagian ujung diberi tanda panah. Misalnya V = 5 dengan arah 0° terhadap sumbu x, maka tampilannya pada gambar adalah sebagai berikut.

Jika vektor dinyatakan memiliki arah pada derajat tertentu, maka vektor digambarkan dengan memberikan sudut vektor terhadap sumbu x. Misalnya jika vektor V dinyatakan 45° terhadap sumbu x, maka tampilan gambarnya adalah sebagai berikut.

 

 

Perhatikan bahwa gambar vektor ini memiliki besaran nilai yang sama, tetapi memiliki arah yang berbeda.
Jika sebuah dua buah vektor memiliki besar dan arah yang sama maka vektor tersebut dapat dinyatakan sama. Misalnya vektor A pada gambar berikut ini, memilik nilai yang sama dengan vektor B. Perhatikan gambar.

Jika dua vektor tersebut berlawanan arah, tetapi tetap sejajar maka dapat dinyatakan secara matematis dengan memberikan tanda negative pada salah satu vektor.
 

Jika vektor B ternyata beberapa kali lebih besar dari vektor A maka secara matematis dapat digunakan perkalian vektor dengan u sebagai factor pengali.

Komponen Vektor

Sebuah vektor dapat merupakan penjumlahan dari dua atau tiga komponen vektor, tergantung dari apakah vektor tersebut dalam dua dimensi atau tiga dimensi. Komponen vektor dua dimensi adalah komponen vektor terhadap sumbu x dan komponen vektor terhadap sumbu y. misalkan sebuah vektor A, digambarkan seperti gambar berikut ini.

 

Komponen vektor terhadap sumbu x adalah Ax nilainya adalah A cos α.

Komponen vektor terhadap sumbu y adalah Ay nilainya adalah A sin α.

Untuk menjumlahkan beberapa vektor, maka haruslah terlebih dahulu diuraikan menjadi komponen-komponen vektor, setelah itu vektor sejajar dijumlahkan, lalu nilainya dicari. Misalkan vektor A dan B adalah dua vektor yang akan dijumlahkan maka nilai skalarnya dapat juga dinyatan sebagai berikut:

Operasi Matematika Vektor
 

Vektor dapat ditambahkan, dapat juga dikalikan, atau dibandingkan. Operasi perkalian atau penjumlahan vektor tentu tidak sama dengan operasi matematika pada besaran skalar lainnya. 

Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor hanya dapat dilakukan terhadap besaran besaran yang sejenis. Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara grafis maupun menggunakan vektor komponen. Penjumlahan vektor secara grafis dapat dilakukan dengan metode jajargenjang dan metode poligon.

1. Metode Jajargenjang

Vektor A and vektor B merupakan vektor-vektor sejenis. Penjumlahan kedua vektor dengan metode jajargenjang dilakukan dengan membuat dua garis putus-putus yang masing-masing sejajar dengan vektor A dan B.

 

Jika nilai vektor A dan vektor B diketahui serta sudut yang dibentuk oleh keduanya diketahui maka nilai resultan vektor R dapat diperoleh dengan menggunakan rumus cosinus, yaitu:

2. Metode Poligon

Penjumlahan beberapa vektor dengan metode poligon dilakukan dengan menggeser vektor kedua sehingga pangkal vektor kedua berimpit dengan ujung vektor pertama.
Penjumlahan dua vektor:

Penjumlahan tiga vektor: 

3. Metode Vektor Komponen

Sekarang mari kita lihat bagaimana menggunakan metode vektor komponen untuk menjumlahkan vektor secara matematis. Anggap kita memiliki dua vektor, A dan B, yaitu:

 

Jika dijumlahkan maka resultannya adalah

 Sementara itu, vektor R dapat dinyatakan dengan vektor satuan

Maka diperoleh nilai vektor komponen dari R, yaitu:

Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor adalah penjumlahan suatu vektor dengan vektor negatif. Jika vektor A dikurangi dengan vektor B maka sama dengan vektor A ditambahkan dengan negatif dari vektor B.

A – B = A + (-B)

Negatif dari vektor B yaitu vektor -B adalah suatu vektor yang memiliki nilai sama dengan vektor  B namun berlawanan arah.

Pada gambar diberikan vektor A, B, dan C dan negatif dari ketiga vektor tersebut.

Dengan menggunakan vektor negatif, prosedur pengurangan vector secara prinsip sama dengan penambahan vektor. Berikut ini diperlihatkan hasil dari pengurangan vektor : A – B, B – C, B – A.

Jika vektor dapat dinyatakan dalam vektor-vektor komponennya, pengurangan vektor dapat dilakukan secara matematis. Misalnya:

A = Axi + Ayj
B = Bxi + Byj

Maka pengurangan vektor A dengan vektor B

A – B = ( Axi + Ayj ) – ( Bxi + Byj )
          = Axi – Bxi + Ayj - Byj
          = ( Ax – Bx )i + (Ay - By )j

Perkalian Vektor

Suatu vektor dapat dikalikan dengan konstanta, besaran skalar, atau dengan vektor lainnya.

1.    Perkalian Titik (dot product)

Perkalian titik dua vektor menghasilkan besaran skalar. Perkalian titik vektor A dan vektor B didefinisikan sebagai

Dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Jika vektor A dan vektor B dinyatakan dengan dalam vector satuan, maka perkalian titiknya diuraikan sebagai berikut

 

sedangkan hasil perkalian titik vektor A dengan dirinya sendiri, maka

 

Perkalian titik dapat digunakan untuk menentukan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor, yaitu

Beberapa sifat-sifat perkalian titik:

2. Perkalian Silang

Berbeda dengan perkalian titik, perkalian silang dari dua vector menghasilkan besaran vektor yang arahnya tegak lurus terhadap kedua vektor pembentuknya. Perkalian silang dari vektor A and vektor B didefinisikan sebagai

Beberapa sifat dari perkalian silang:

Source : https://marojahantampubolon.files.wordpress.com/2012/05/fisika-bab-i.pdf